Base orthonormée de l'espace

Définition

On dit que trois vecteurs `\vec{i}, \vec{j},\vec{k}` de l'espace forment une base orthonormée de l'espace lorsque :

• leurs normes sont égales à `1` ;
• leurs directions sont deux à deux perpendiculaires.
  

Exemple

Dans la figure ci-dessous, \(\mathrm{ABCDEFGH}\) est un cube de côté `1`.

Comme `\text{AB}=\text{AD}=\text{AE}=1`, les vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\), \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AE}}\)  ont la même norme égale à `1`. De plus :

• la droite `(\text{AB})` et la droite `(\text{AE})` sont perpendiculaires ;
  
• la droite `(\text{AB})` et la droite `(\text{AD})` sont perpendiculaires ;
  
• la droite `(\text{AD})` et la droite `(\text{AE})` sont perpendiculaires.
  

Les trois vecteurs \(\mathrm{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\) forment une base orthonormée de l’espace.

Propriété et définition

Soit une base orthonormée \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) de l'espace. Soit \(\overrightarrow u\) un vecteur de l'espace.
Il existe trois réels `x,y,z` tels que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) s’écrit de manière unique sous la forme \(\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\). 
Les trois nombres \(x\), \(y\) et \(z\) s'appellent les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow u\) dans la base \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\). 
On note alors \(\overrightarrow{u}(x~;~y~;~z)\) ou \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\\end{pmatrix}\).

Exemple

On reprend l'exemple ci-dessus. Soit \(\mathrm{I}\) le milieu du segment \(\mathrm{[FG]}\).

Alors :
\(\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{ID}} & = & \mathrm{\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HD}}\\ \mathrm{\overrightarrow{ID}}& =& \mathrm{\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}}\\\mathrm{\overrightarrow{ID}}& =& \mathrm{-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}}\\\end{array}\)
Donc le vecteur \(\mathrm{\overrightarrow{ID}}\) a pour coordonnées : \(\mathrm{\overrightarrow{ID}}\begin{pmatrix} -1 \\\dfrac12 \\ -1\\\end{pmatrix}\).